Question

11．如圖，正方形ABCD的邊BC的延長線滿足CE=DC，CF=AC，連結AF、DE交于點G，連結CG．試證明△DCG是等腰三角形．

Answer 1

分析 由正方形的性質得出∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，DC=AD，得出AC=$\sqrt{2}$CD，證出△DCE是等腰直角三角形，得出∠CDE=∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$CE，得出AC=DE，證出CF=DE，再證出EF=EG，即可得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠BAD=∠ADC=90°，DC=AD，
∴AC=$\sqrt{2}$CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE=45°+90°=135°，
∵CF=AC，
∴∠F=∠CAF=$\frac{1}{2}$（180°-135°）=22.5°，
∴∠DAG=45°-22.5°=22.5°，
∵CE=DC，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°，DE=$\sqrt{2}$CD=$\sqrt{2}$CE，
∴AC=DE，
∵CF=AC，
∴CF=DE，
∵∠CEG=∠F+∠EGF，
∴∠EGF=45°-22.5°=22.5°=∠F，
∴EF=EG，
∴CF-EF=DE-GE，
∴CE=DG，
∴CD=DG，
即△DCG是等腰三角形．

點評 本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握正方形的性質，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．