Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形DOBC是矩形，且D（0，4），B（6，0），若反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)線段OC的中點(diǎn)A，交DC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．設(shè)直線EF的解析式為y=k₂x+b．
（1）求反比例函數(shù)和直線EF的解析式；
（2）求△OEF的面積；
（3）請(qǐng)直接寫出不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)B、D的坐標(biāo)結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由中點(diǎn)的性質(zhì)即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可得出k值，由此即可得出反比例函數(shù)解析式；由點(diǎn)F的橫坐標(biāo)、點(diǎn)E的縱坐標(biāo)結(jié)合反比例函數(shù)解析式即可得出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，再由點(diǎn)E、F的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線EF的解析式；
（2）通過(guò)分割圖形并利用三角形的面積公式即可求出結(jié)論；
（3）觀察函數(shù)圖象，根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵D（0，4），B（6，0），
∴C（6，4），
∵點(diǎn)A為線段OC的中點(diǎn)，
∴A（3，2），
把A（3，2）代入y=$\frac{{k}_{1}}{x}$（x＞0），得：k₁=6，
∴反比例函數(shù)為y=$\frac{6}{x}$，
把x=6代入y=$\frac{6}{x}$得y=1，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1）；
把y=4代入y=$\frac{6}{x}$得4=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{3}{2}$，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，4）．
把F（6，1）、E（$\frac{3}{2}$，4）代入y=k₂x+b中得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}{k}_{2}+b=4}\\{6{k}_{2}+b=1}\end{array}\right.$得：k₂=-$\frac{2}{3}$，b=5，
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x+5；

（2）過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OB于點(diǎn)G
∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)圖象上
∴S_△EOG=S_△OBF，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG，
∵E（$\frac{3}{2}$，4），F(xiàn)（6，1），
∴EG=4，F(xiàn)B=1，BG=$\frac{9}{2}$，
∴S_△EOF=S_梯形EFBG=$\frac{1}{2}$（1+4）×$\frac{9}{2}$=$\frac{45}{4}$；
（3）不等式k₂x+b-$\frac{{k}_{1}}{x}$＜0，可變形為-$\frac{2}{3}$x+5＜$\frac{6}{x}$．
觀察函數(shù)圖象可發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6時(shí)，一次函數(shù)y=-$\frac{2}{3}$x+5的圖象在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$的圖象的下方，
∴-$\frac{2}{3}$x+5-$\frac{6}{x}$＜0的解集為：0＜x＜$\frac{3}{2}$或x＞6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及三角形的面積公式，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．