Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y₁=mx與雙曲線y₂=$\frac{k}{x}$相交于點(diǎn)A、B，四邊形AODC為菱形，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3）．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，連接BM，求△ABM的面積；
（3）x取何值時(shí)，y₁＜y₂？請(qǐng)直接寫出結(jié)果：x＜-2或0＜x＜2．

Answer 1

分析 （1）連接AD，交x軸于點(diǎn)E，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)D的坐標(biāo)可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由點(diǎn)A的坐標(biāo)可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可得出不等式的解．

解答 解：（1）連接AD，交x軸于點(diǎn)E，如圖1所示．
∵四邊形AODC為菱形，
∴AD⊥OC，AE=DE．
∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3），
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，3）．
將點(diǎn)A（2，3）代入y₁=mx中，
得：3=2m，解得：m=$\frac{3}{2}$，
∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y₁=$\frac{3}{2}$x．
將點(diǎn)A（2，3）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，
得：3=$\frac{k}{2}$，解得：k=6，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為y₂=$\frac{6}{x}$．
（2）依照題意畫出圖形，如圖2所示．
∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，且點(diǎn)A（2，3），
∴點(diǎn)B（-2，-3），點(diǎn)M（0，3），
∴AM=2．
S_△ABM=$\frac{1}{2}$AM•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×2×[3-（-3）]=6．
（3）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)x＜-2或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，
∴不等式y(tǒng)₁＜y₂的解為：x＜-2或0＜x＜2．
故答案為：x＜-2或0＜x＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式以及菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）利用三角形的面積公式求出面積；（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，找出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．