Question

9．如圖，在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正方形ABDE和ACEG，連接CE、BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線；④∠EAM=∠ABC，其中正確的結(jié)論是①②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，然后求出∠CAE=∠BAG，再利用“邊角邊”證明△ABG和△AEC全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=CE，判定①正確；設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACE=∠AGB，然后求出∠CNG=90°，根據(jù)垂直的定義可得BG⊥CE，判定②正確；過(guò)點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，根據(jù)同角的余角相等求出∠ABH=∠EAP，再利用“角角邊”證明△ABH和△EAP全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠EAM=∠ABC判定④正確，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EP=AH，同理可證GQ=AH，從而得到EP=GQ，再利用“角角邊”證明△EPM和△GQM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EM=GM，從而得到AM是△AEG的中線．

解答 解：在正方形ABDE和ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC，
即∠CAE=∠BAG，
∵在△ABG和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠CAE=∠BAG}\\{AC=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG=CE，（故①正確）；
設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE=∠AGB，
∵∠NCF+∠NGF=∠ACF+∠AGF=90°+90°=180°，
∴∠CNG=360°-（∠NCF+∠NGF+∠F）=360°-（180°+90°）=90°，
∴BG⊥CE，（故②正確）；
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q，

∵AH⊥BC，
∴∠ABH+∠BAH=90°，
∵∠BAE=90°，
∴∠EAP+∠BAH=180°-90°=90°，
∴∠ABH=∠EAP，
∵在△ABH和△EAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABH=∠EAP}\\{∠AHB=∠P=9{0}^{°}}\\{AB=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EAP（AAS），
∴∠EAM=∠ABC，（故④正確），
EP=AH，
同理可得GQ=AH，
∴EP=GQ，
∵在△EPM和△GQM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠P=∠MQG=90°}\\{∠EMP=∠GMQ}\\{EP=GQ}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△GQM（AAS），
∴EM=GM，
∴AM是△AEG的中線，（故③正確）．
綜上所述，①②③④結(jié)論都正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)作輔助線EP⊥HA的延長(zhǎng)線于P，過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥AM于Q構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．