Question

9．已知△ABC，點(diǎn)F在射線CA上，點(diǎn)E在射線AB上，點(diǎn)D在射線CB上，點(diǎn)F、E、D在同一條直錢上，且∠AFE=∠BED．
（1）當(dāng)BD=DC時(shí)，如圖①，求證：BE=CF；
（2）當(dāng)BD：DC=2：3時(shí)，如圖②、③，BE、CF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想結(jié)論，不需要證明；
（3）若BD：DC=1：2，CF=10，AB=8，則AE=13．

Answer 1

分析 （1）作CP∥AB交FD的延長線于P，則∠P=∠BED，再由已知條件得出∠P=∠AFE，證出CP=CF，由AAS證明△BDE≌△CDP，得出BE=CP，即可得出結(jié)論；
（2）作CP∥AB交FD的延長線于P，同（1）得：CP=CF，由平行線證出△BDE∽△CDP，得出對(duì)應(yīng)邊成比例BE：CP=BD：CD=2：3，即可得出結(jié)論；
（3）作CP∥AB交FD的延長線于P，則∠P=∠BED=∠AFE，由等腰三角形的判定定理得出CP=CF=10，由平行線證出△BDE∽△CDP，得出BE：CP=BD：DC=1：2，求出BE=$\frac{1}{2}$CP=5，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：作CP∥AB交FD的延長線于P，如圖①所示：
則∠P=∠BED，
∵∠AFE=∠BED，
∴∠P=∠AFE，
∴CP=CF，
在△BDE和△CDP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠P}&{\;}\\{∠BDE=∠CDP}&{\;}\\{BD=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDP（AAS），
∴BE=CP，
∴BE=CF；
（2）解：BE：CF=2：3，理由如下：
作CP∥AB交FD的延長線于P，如圖②所示：
同（1）得：CP=CF，
∵CP∥AB，
∴△BDE∽△CDP，
∴BE：CP=BD：CD=2：3，
∴BE：CF=2：3；
（3）解：作CP∥AB交FD的延長線于P，如圖③所示：
則∠P=∠BED=∠AFE，
∴CP=CF=10，
∵CP∥AB，
∴△BDE∽△CDP，
∴BE：CP=BD：DC=1：2，
∴BE=$\frac{1}{2}$CP=5，
∴AE=AB+BE=8+5=13；
故答案為：13．

點(diǎn)評(píng) 本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過作平行線證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．