Question

3．武當(dāng)山風(fēng)景管理區(qū)，為提高游客到某景點(diǎn)的安全性，決定將到達(dá)該景點(diǎn)的步行臺(tái)階進(jìn)行改善，把傾角由44°減至32°，已知原臺(tái)階AB的長為5米（BC所在地面為水平面）．
（1）改善后的臺(tái)階會(huì)加長多少？（精確到0.01米）
（2）改善后的臺(tái)階占多長一段地面？（精確到0.01米）sin44°=0.6947；sin32°=0.5299；cos44°=0.7193；cos32°=0.8480；tan32°=0.6249．

Answer 1

分析 （1）要求臺(tái)階加長的部分，需求臺(tái)階改善后的新長度，改后的臺(tái)階組成的直角三角形中，有坡角的度數(shù)，只要知道臺(tái)階的垂直距離便可，因?yàn)榕_(tái)階修改前后高沒變，因此可根據(jù)原臺(tái)階構(gòu)成的直角三角形來求出臺(tái)階的垂直高度．這樣，就能求出改后的臺(tái)階的長，也就能求出增加了多少．
（2）修改前后的臺(tái)階構(gòu)成的兩個(gè)直角三角形中，已知了坡角，又求得了臺(tái)階的垂直高度，那么他們的水平距離就都能求出了，多占的地面的長度其實(shí)就是這兩個(gè)水平距離的差．

解答 解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=AB•sin44°=5sin44°≈3.473（米）．
在Rt△ACD中，AD=$\frac{AC}{sin32°}$≈6.554（米），∴AD-AB=6.554-5≈1.55（米）．
答：改善后的臺(tái)階會(huì)加長1.55米．

（2）如圖，在Rt△ABC中，BC=AB•cos44°=5cos44°≈3.597（米）．
在Rt△ACD中，CD=$\frac{AC}{tan32°}$≈5.558（米）．
∴BD=CD-BC=5.558-3.597≈1.96（米）．
答：改善后的臺(tái)階多占1.96米長的一段地面．

點(diǎn)評(píng) 本題是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的數(shù)學(xué)問題，可把條件和問題放到直角三角形中，進(jìn)行解決．