Question

11．對于某些三角形或是四邊形，我們可以直接用面積公式或是用割補法等來求它們的面積，下面我們研究一種求面積的新方法：
如圖1、2所示，分別過三角形或是四邊形的頂點A、C作水平線的鉛垂線l₁、l₂，l₁、l₂之間的距離d叫做水平寬；如圖1所示，過點B作水平線的鉛垂線交AC于點D，稱線段BD的長叫做這個三角形的鉛垂高；如圖2所示，分別過四邊形的頂點B、D作水平線l₃、l₄，l₃、l₄之間的距離h叫做四邊形的鉛垂高．

【結(jié)論提煉】：容易證明：“三角形的面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半”，即“S=$\frac{1}{2}$dh”．
【嘗試應(yīng)用】：
已知：如圖3，點A（-5，2）、B（5，0）、C（0，5），則△ABC的水平寬為10，鉛垂高為5，所以△ABC的面積為25．
【再探新知】：

三角形的面積可以用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”來求，那四邊形的面積是不是也可以這樣求呢？帶著這個問題，小明進(jìn)行了如下探索嘗試：
（1）他首先在圖4所示的平面直角坐標(biāo)系中，取了A（-4，2）、B（1，5）、C（4，1）、D（-1，-4）四個點，得到了四邊形ABCD．
小明運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計算的結(jié)果是36；他又用其它的方法進(jìn)行了計算，結(jié)果是37，由此他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖4中的四邊形求面積不適合（填“適合”或“不適合”）．

（2）小明并沒有放棄嘗試，他又在圖5所示的平面直角坐標(biāo)系中，取了A（-5，2）、B（1，5）、C（4，2）、D（-1，-3）四個點，得到了四邊形ABCD．小明運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計算的結(jié)果是36，由此他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖5中的四邊形求面積適合（填“適合”或“不適合”）．
（3）小明很奇怪，就繼續(xù)進(jìn)行了進(jìn)一步嘗試，他在圖6所示的平面直角坐標(biāo)系中，取了A（-4，2）、B（1，5）、C（5，1）、D（1，-5）四個點，得到了四邊形ABCD．通過計算他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖6中的四邊形求面積適合（填“適合”或“不適合”）．
通過以上嘗試，小明恍然大悟得出結(jié)論：當(dāng)四邊形滿足一條對角線等于水平寬或鉛垂高條件時，四邊形可以用“S=$\frac{1}{2}$dh”來求面積．
【學(xué)以致用】：
如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，點M坐標(biāo)為（-2，0），拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3，拋物線圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，點P為拋物線上一點，且位于B、C之間，請直接運用以上結(jié)論，寫出當(dāng)點P坐標(biāo)為多少時，四邊形AMPC面積最大．（直接寫出P點坐標(biāo)即可）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)面積公式或是用割補法分別求它們的面積，比較后確定面積公式“S=$\frac{1}{2}$dh”是否適合；
（2）分別用兩種方法求四邊形面積，比較后確定面積公式“S=$\frac{1}{2}$dh”是否適合；
（3）分別計算四邊形面積，然后總結(jié)四邊形的面積公式成立的條件，然后分別求出點A、M、C的坐標(biāo)，根據(jù)點P為頂點時，四邊形AMPC面積最大，求出頂點坐標(biāo)，代入求出水平寬和鉛垂高，得到四邊形AMPC面積的最大值．

解答 解：（1）小明運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計算的結(jié)果是36；他又用其它的方法進(jìn)行了計算，結(jié)果是37，由此他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖4中的四邊形求面積不適合；
（2）小明運用“水平寬與鉛垂高乘積的一半”進(jìn)行計算的結(jié)果是36，由此他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖5中的四邊形求面積適合；
（3）通過計算他發(fā)現(xiàn)：用“S=$\frac{1}{2}$dh”這一方法對圖6中的四邊形求面積適合；
結(jié)論：當(dāng)四邊形滿足一條對角線等于水平寬或鉛垂高時，四邊形可以用“S=$\frac{1}{2}$dh”來求面積．
y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3的圖象與y軸交于點A（0，3），
$\frac{1}{4}$x²-2x+3=0，解得，x₁=，x₂=6
與x軸交點B（2，0）、C（6，0），
當(dāng)P點為拋物線的頂點時，四邊形AMPC面積最大，
y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3=$\frac{1}{4}$（x-4）²-1，∴頂點的坐標(biāo)為（4，-1），
四邊形AMPC的水平寬為8，鉛垂高為4，
∴四邊形AMPC面積為：$\frac{1}{2}$×8×4=16．

點評 本題考查的是二次函數(shù)的綜合運用，正確推導(dǎo)出四邊形的面積公式和確定四邊形AMPC面積最大時，點P的位置是解題的關(guān)鍵，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的運用．