Question

7．閱讀下面材料：
小明觀察一個(gè)由1×1正方形點(diǎn)陣組成的點(diǎn)陣圖，圖中水平與豎直方向上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的距離都是1，他發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的問(wèn)題：對(duì)于圖中出現(xiàn)的任意兩條端點(diǎn)在點(diǎn)陣上且互相不垂直的線段，都可以在點(diǎn)陣中找到一點(diǎn)構(gòu)造垂直，進(jìn)而求出它們相交所成銳角的正切值．
請(qǐng)回答：
（1）如圖1，A，B，C是點(diǎn)陣中的三個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)邳c(diǎn)陣中找到點(diǎn)D，作出線段CD，使得CD⊥AB；
（2）如圖2，線段AB與CD交于點(diǎn)O．為了求出∠AOD的正切值，小明在點(diǎn)陣中找到了點(diǎn)E，連接AE，恰好滿足AE⊥CD于點(diǎn)F，再作出點(diǎn)陣中的其它線段，就可以構(gòu)造相似三角形，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算能夠使問(wèn)題得到解決．
請(qǐng)你幫小明計(jì)算：OC=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$；tan∠AOD=5；

解決問(wèn)題：
如圖3，計(jì)算：tan∠AOD=$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 （1）用三角板過(guò)C作AB的垂線，從而找到D的位置；
（2）連接AC、DB、AD、DE．由△ACO∽△DBO求得CO的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)可以求出AF，DF的長(zhǎng)，從而求出OF的長(zhǎng)，在Rt△AFO中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出tan∠AOD的值；
（3）如圖，連接AE、BF，則AF=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{13}$，由△AOE∽△BOF，可以求出AO=$\frac{5\sqrt{13}}{7}$，在Rt△AOF中，可以求出OF=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$，故可求得tan∠AOD．

解答 解：（1）如圖所示：

線段CD即為所求．
（2）如圖2所示連接AC、DB、AD．

∵AD=DE=2，
∴AE=2$\sqrt{2}$．
∵CD⊥AE，
∴DF=AF=$\sqrt{2}$．
∵AC∥BD，
∴△ACO∽△DBO．
∴CO：DO=2：3．
∴CO=$\frac{2}{5}CD=\frac{2}{5}×2\sqrt{2}=\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
∴DO=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$．
∴OF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}-\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{5}$．
tan∠AOD=$\frac{AF}{AO}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{5}}=5$．
（3）如圖3所示：

根據(jù)圖形可知：BF=2，AE=5．
由勾股定理可知：AF=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
∵FB∥AE，
∴△AOE∽△BOF．
∴AO：OB=AE：FB=5：2．
∴AO=$\frac{5}{7}AB=\frac{5\sqrt{13}}{7}$．
在Rt△AOF中，OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}=\sqrt{（\frac{5\sqrt{13}}{7}）^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{7}$．
∴tan∠AOD=$\sqrt{5}÷\frac{4\sqrt{5}}{7}=\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)點(diǎn)陣圖構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．