Question

6．如圖，在線段AB的同側(cè)有等邊△ACD和等邊△CBE，AE、DB交于H．求證：DA²=DH•DB．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AC=CD，CE=CB，∠DCA=∠ECB=60°，∠DAC=∠ECB，求出∠ACE=∠DCB=120°，∠DAH=∠AEC，證△ACE≌△DCB，根據(jù)全等得出∠AEC=∠ABD，求出∠DAH=∠ABD，證出△ADH∽△BDA，得出比例式，即可得出答案．

解答 證明：∵△ADC和△BCE是等邊三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠DCA=∠ECB=60°，∠DAC=∠ECB=60°，
∴∠DCE=60°，AD∥CE，
∴∠ACE=∠DCB=120°，∠DAH=∠AEC，
在△ACE和△DCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠AEC=∠ABD，
∵∠DAH=∠AEC，
∴∠DAH=∠ABD，
∵∠ADH=∠ADB，
∴△ADH∽△BDA，
∴$\frac{DA}{DH}=\frac{DB}{DA}$，
∴DA²=DH•DB．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，能求出△ADH∽△BDA是解此題的關(guān)鍵．