Question

11．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2AC，點D是AB的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合（與Rt△ABC在同一平面內(nèi)），連接BE，EC．試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關系，并對你的猜想說明理由．

Answer 1

分析 數(shù)量關系為：BE=EC，位置關系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可證得：△EBD≌△EAC即可證明．

解答 解：數(shù)量關系為：BE=EC，位置關系是：BE⊥EC．
∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一個銳角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAC=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDB=∠ADB-∠EDA=180°-45°=135°，
∴∠EAC=∠EDB，
∵D是AB的中點，
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=2AC，
∴BD=AD=AC，
∵在△EDB和△EAC中
 $\left\{\begin{array}{l}{DE=AE}\\{∠BDE=∠CAE}\\{BD=AC}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△EAC（SAS），
∴EB=EC，且∠BED=∠CEA，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠CEA+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與應用，證明線段相等的問題一般的解決方法是轉(zhuǎn)化為證明三角形全等．