Question

6．如圖，已知C是線段AB上的任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），分別以AC、BC為邊并且在AB的同一側(cè)作等邊△ACD和等邊△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=BD；②CN=CM；③MN∥AB；④ME=NB．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是4．

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可證明△ACE≌△DCB，可證明AE=BD，可判斷①；結(jié)合①可證明△ACM≌△DCN，可證明CN=CM，可判斷②；結(jié)合②可證明△CMN為等邊三角形，可證得∠MNC=∠NCB=60°，可證明MN∥AB，可判斷③；結(jié)合①②可判斷④；可得出答案．

解答 解：
∵△ACD和△BCE為等邊三角形，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△DCB中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=DC}\\{∠ACE=∠DCB}\\{CE=CB}\end{array}\right.$
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD，
故①正確；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠MAC=∠NDC，
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠MCA=∠DCN=60°，
在△AMC和△DNC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAC=∠NDC}\\{AC=DC}\\{∠ACM=∠DCN}\end{array}\right.$
∴△AMC≌△DNC（ASA），
∴CM=CN，
故②正確；
∵CM=CN，
∴△CMN為等邊三角形，
∴∠NMC=∠NCB=60°，
∴MN∥BC，
故③正確；
∵AE=BD，DN=AM，
∴AE-AM=BD-DN，即ME=BN，
故④正確；
∴正確結(jié)論有4個(gè)，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用SSS、SAS、ASA、AAS和HL證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．