Question

12．如圖，⊙O的半徑OA⊥OD，點(diǎn)B是⊙O上一點(diǎn)，AB交OD于C，點(diǎn)P在OD的延長(zhǎng)線上，PC=PB．
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接BD，若OC：CP=1：4，求tan∠DBP的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠ABO，∠PBC=∠PCB，等量代換得到∠ACO=∠PBC，得到∠PBO=90°，于是得到結(jié)論；
（2）過(guò)D作DE⊥PB于E，設(shè)OC=a，PC=4a，得到OP=5a，根據(jù)勾股定理得到OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3a，求得OD=3a，PD=2a，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=$\frac{12}{5}$a，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵PC=PB，
∴∠PBC=∠PCB，
∵∠ACO=∠PCB，
∴∠ACO=∠PBC，
∵OA⊥OD，
∴∠A+∠ACO=90°，
∴∠PBC+∠ABO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴PB是⊙O的切線；

（2）過(guò)D作DE⊥PB于E，
∵OC：CP=1：4，
∴設(shè)OC=a，PC=4a，
∴OP=5a，
∴PB=PC=4a，
∵∠PBO=90°，
∴OB=$\sqrt{O{P}^{2}-P{B}^{2}}$=3a，
∴OD=3a，PD=2a，
∵DE⊥PB，OB⊥PB，
∴DE∥OB，
∴△PDE∽△POB，
∴$\frac{DE}{OB}=\frac{PE}{PB}=\frac{PD}{PO}$=$\frac{2}{5}$，
∴DE=$\frac{6}{5}$a，PE=$\frac{8}{5}$a，
∴BE=$\frac{12}{5}$a，
∴tan∠DBP=$\frac{DE}{BE}$=$\frac{\frac{8}{5}a}{\frac{12}{5}a}$=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，切線的判定，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．