Question

20．如圖，E是正方形ABCD中BC邊上的任意一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，設(shè)∠BAE=α，∠EAF=β．求證：若E是BC的中點(diǎn)，則α=β，AF=AB+CF．

Answer 1

分析 根據(jù)同角的余角相等可得∠AEb=∠EFC，∠BAE=∠FEC，然后求出△ABE和△ECF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{CF}$，然后根據(jù)兩組邊對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，證明△AEF∽△ECF，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠FAE=∠FEC，過點(diǎn)E作EH⊥AF于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得BE=HE，利用“HL”證明△ABE和△AHE，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=AH，同理可得FC=FH，然后求出AF=AB+CF．

解答 解：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
∵∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠AEB=∠EFC，
∴∠BAE=∠FEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{EF}{CF}$，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
∴$\frac{AE}{CE}=\frac{EF}{CF}$，
又∵∠AEF=∠C=90°，
∴△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC，
∴∠BAE=∠FAE，
即α=β．
如圖，

過點(diǎn)E作EH⊥AF于H，
則BE=HE，
在Rt△ABE和Rt△AHE中，
 $\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{BE=HE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），
∴AB=AH，
同理可得△ECF≌△EHF，
∴FC=FH，
∵AF=AH+FH
∴AF=AB+CF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．