Question

17．定義：a是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推，則a₂₀₁₆=4．

Answer 1

分析 利用規(guī)定的運算方法，分別算得a₁，a₂，a₃，a₄…找出運算結(jié)果的循環(huán)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．

解答 解：∵a₁=-$\frac{1}{3}$，
a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$，
…
∴數(shù)列以-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4三個數(shù)依次不斷循環(huán)，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=4．
故答案為：4．

點評 此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，關(guān)鍵是找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出數(shù)字之間的運算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．