Question

1．已知矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB=4cm，AD=4$\sqrt{3}$cm．已知點(diǎn)E、F分別同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)E沿著A→D→O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿著A→B→O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它們到達(dá)O點(diǎn)時(shí)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)E在AD上的速度為$\sqrt{3}$cm/s，點(diǎn)F在AB上的速度為1cm/s，E、F兩點(diǎn)在BD上的速度都為2cm/s．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，連接EF，在直線EF下方作等邊△EFG，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)點(diǎn)E在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求t為何值時(shí)，點(diǎn)G落在邊BC上？
（2）如圖1，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△EFG與△ABC重疊部分的面積S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，當(dāng)t=2時(shí)，將△BFG繞著點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜360°），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線BF與直線AC、AD分別交于點(diǎn)M、N．問是否存在這樣的點(diǎn)M、N使得△AMN是以MN為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出AM的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)G在BC邊上時(shí)，如圖1中，首先證明四邊形ABGE是矩形，根據(jù)EF=EG=AB=2t，列出方程即可解決問題．
（2）分四種情形①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形FGMN．②如圖3中，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，重疊部分是五邊形MNFPK．③如圖4中，當(dāng)4＜t≤$\frac{16}{3}$時(shí)，重疊部分是五邊形OMKPE．④如圖5中，當(dāng)$\frac{16}{3}$＜t≤6時(shí)，重疊部分是四邊形OMGF．分別求解即可．
（3）分四種情形）①如圖6中，當(dāng)點(diǎn)N在AD上，點(diǎn)M在上時(shí)，易知∠MAN=∠ANM=30°，AM=MN，△AMN是以MN為腰的等腰三角形．②如圖7中，當(dāng)MN=NA時(shí)，連接CN．③如圖8中，當(dāng)MN=AN時(shí)，④如圖9中，當(dāng)AM=MN時(shí)，分別求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)G在BC邊上時(shí)，如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AB=4，AD=4$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ABD=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$t，AF=t，
∴tan∠AFE=$\frac{AE}{AF}$=$\sqrt{3}$，
∴∠AFE=60°，
∴∠AEF=30°，
∵△EFG是等邊三角形，
∴EF=EG=FG，∠FEG=60°，
∴∠AEG=90°，
∵∠ABC=∠BAE=∠AEG=90°，
∴四邊形ABGE是矩形，
∴EF=EG=AB，
∴2t=4
∴t=2．

（2 ）①如圖2中，當(dāng)0＜t≤2時(shí)，重疊部分是四邊形FGMN．

s=S_△EFG-S_△EMN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•t²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²．

②如圖3中，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，重疊部分是五邊形MNFPK．

s═S_△EFG-S_△EMN-S_△PKG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（2t）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•t²-$\frac{1}{2}$（2t-4）•$\sqrt{3}$（2t-4）=-$\frac{3\sqrt{3}}{4}$t²+8$\sqrt{3}$t-8$\sqrt{3}$．

③如圖4中，當(dāng)4＜t≤$\frac{16}{3}$時(shí)，重疊部分是五邊形OMKPE．

S=S_△EFG-S_△EOM-S_△PKG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[8-4（t-4）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[4-2（t-4）]²-$\frac{1}{2}$（16-3t）•$\sqrt{3}$（16-3t）=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$t²+12$\sqrt{3}$t-45$\sqrt{4}$．

④如圖5中，當(dāng)$\frac{16}{3}$＜t≤6時(shí)，重疊部分是四邊形OMGF．

S=S_△EFG-S_△EOM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[8-4（t-4）]²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•[4-2（t-4）]²=3$\sqrt{3}$t²-36$\sqrt{3}$t+108$\sqrt{3}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{4}{t}^{2}+8\sqrt{3}t-8\sqrt{3}}&{（2＜t≤4）}\\{-\frac{3\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+12\sqrt{3}t-45\sqrt{3}}&{（4＜t≤\frac{16}{3}）}\\{3\sqrt{3}{t}^{2}-36\sqrt{3}t+108\sqrt{3}}&{（\frac{16}{3}＜t≤6）}\end{array}\right.$．

（3）存在，理由如下：
①如圖6中，當(dāng)點(diǎn)N在AD上，點(diǎn)M在上時(shí)，易知∠MAN=∠ANM=30°，AM=MN，△AMN是以MN為腰的等腰三角形．

此時(shí)，∵AN=2$\sqrt{3}$，作MH⊥AF于H，
∴AH=NH=$\sqrt{3}$，cos30°=$\frac{AH}{AM}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{AM}$，
∴AM=2cm．
②如圖7中，當(dāng)MN=NA時(shí)，連接CN．

∵NA=NM，
∴∠NAM=∠NMA=30°，
∵∠FCM=∠FMC=30°，CF=4-2$\sqrt{3}$，
∴CM=2•CF•cos30°=4$\sqrt{3}$-6，
∴AM=AC+CM=（4$\sqrt{3}$+2）cm．
③如圖8中，當(dāng)MN=AN時(shí)，

易知O、G、F共線，△OFM是等邊三角形，OM=6，
∴OM=OA+OM=4+6=10cm
④如圖9中，當(dāng)AM=MN時(shí)，作FH⊥DM于H，

∵四邊形ABFH是矩形，
∴AH=FB=4-2$\sqrt{3}$，
在Rt△FHM中，MH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$FH=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴AM=MH+AH=（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）cm．
綜上所述，當(dāng)△AMN是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，AM的長(zhǎng)為2cm或（4$\sqrt{3}$+2）cm或10cm或（4-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)畫正確圖形，學(xué)會(huì)分類討論，學(xué)會(huì)用分段函數(shù)表示函數(shù)關(guān)系式，本題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中考?jí)狠S題．