Question

3．如圖，在⊙0中，$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，∠ACB=60°．
（1）求證：∠A0B=∠BOC=∠AOC；
（2）若D是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，求證：四邊形0ADB是菱形．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABC是等邊三角形，得AB=AC=BC，推出$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$由此即可證明．
（2）通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)∠OAB=∠OBA=∠DAB=∠DBA=30°，由此即可解決問題．

解答 證明：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵∠ACB=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．
（2）∵∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∵∠ACB=60°，∠ADB+∠ACB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA=30°，
∴∠DAB=∠ABO，∠DBA=∠BAO，
∴AD∥OB，BD∥AO，
∴四邊形AOBD是平行四邊形，
∵OA=OB，
∴四邊形AOBD是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確理解在同圓或等圓中，相等圓心角的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，屬于中考常考題型．