Question

18．如圖，將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40°得到△A₁B₁C₁，AB與A₁C₁相交于點D，A₁C₁、BC₁與AC分別交于點E、F．
（1）求證：△BCF≌△BA₁D；
（2）當∠C=40°時，請你證明四邊形A₁BCE是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉的性質，得出A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，再根據(jù)ASA即可判定△BCF≌△BA₁D；
（2）根據(jù)∠C=40°，△ABC是等腰三角形，即可得出∠A=∠C₁=∠C=40°，進而得到∠C₁=∠CBF，∠A=∠A₁BD，由此可判定A₁E∥BC，A₁B∥CE，進而得到四邊形A₁BCE是平行四邊形，最后根據(jù)A₁B=BC，即可判定四邊形A₁BCE是菱形．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵將等腰△ABC繞頂點B逆時針方向旋轉40度到△A₁BC₁的位置，
∴A₁B=AB=BC，∠A=∠A₁=∠C，∠A₁BD=∠CBC₁，
在△BCF與△BA₁D中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠{A}_{1}=∠C}\\{{A}_{1}B=BC}\\{∠{A}_{1}BD=∠CBF}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△BA₁D（ASA）；

（2）∵∠C=40°，△ABC是等腰三角形，
∴∠A=∠C₁=∠C=40°，
∴∠C₁=∠CBF=40°，∠A=∠A₁BD=40°，
∴A₁E∥BC，A₁B∥CE，
∴四邊形A₁BCE是平行四邊形，
∵A₁B=BC，
∴四邊形A₁BCE是菱形．

點評 本題主要考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定以及菱形的判定的運用，解題時注意：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．