Question

3．若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可以畫(huà)出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，從而可以求出不同情況下△ABC的面積，本題得以解決．

解答 解：由題意可得，如右圖所示
存在兩種情況，
當(dāng)△ABC為△A₁BC時(shí)，連接OB、OC，
∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于點(diǎn)D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△A1BC=$\frac{1}{2}$BC•A₁D=2-$\sqrt{3}$，
當(dāng)△ABC為△A₂BC時(shí)，連接OB、OC，
∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，
∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，OA₁⊥BC于點(diǎn)D，
∴CD=1，OD=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴S_△A2BC=$\frac{1}{2}$BC•A₂D=$\frac{2（2+\sqrt{3}）}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
由上可得，△ABC的面積為2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$，
故答案為2-$\sqrt{3}$或2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的外接圓和外心，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想解答問(wèn)題．