Question

9．如圖，⊙O的半徑為2，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，連接OB、OC，若∠BOC與∠BAC互補(bǔ)，則弦BC的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 首先過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可得BC=2BD，又由圓周角定理，可求得∠BOC的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得∠OBC的度數(shù)，利用余弦函數(shù)，即可求得答案．

解答 解：過點(diǎn)O作OD⊥BC于D，
則BC=2BD，
∵△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC與∠BOC互補(bǔ)，
∴∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BOC）=30°，
∵⊙O的半徑為2，
∴BD=OB•cos∠OBC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．