Question

10．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1和3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．
（1）請(qǐng)畫(huà)出數(shù)軸及A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，并用x的式子表示線段PA、PB的長(zhǎng)度；
（2）數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA=PB=5？若存在，請(qǐng)求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從O點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每分鐘20個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，給出下列兩個(gè)結(jié)論：①$\frac{OP+AB}{MN}$的值不變；②$\frac{AB-OP}{MN}$的值不變，其中有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你做出正確的選擇，說(shuō)明理由并求值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離求法得出PA，PB的長(zhǎng)；
（2）分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右邊時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，分別求出即可；
（3）根據(jù)題意用t表示出AB，OP，MN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出答案．

解答 解：（1）∵數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-1、3，點(diǎn)P為數(shù)軸上的一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，
∴PA=|x+1|；PB=|x-3|（用含x的式子表示）．
故答案為：|x+1|，|x-3|；

（2）分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，PA+PB=4，故舍去．
②當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右邊時(shí)，PA=x+1，PB=x-3，
∴（x+1）+（x-3）=5，
∴x=3.5；
③當(dāng)點(diǎn)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，PA=-x-1，PB=3-x，
∴（-x-1）+（3-x）=5，
∴x=-1.5；

（3）②$\frac{AB-OP}{MN}$，的值不發(fā)生變化．
理由：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t分鐘．則OP=t，OA=5t+1，OB=20t+3，
AB=OA+OB=25t+4，AP=OA+OP=6t+1，
AM=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$+3t，
OM=OA-AM=5t+1-（$\frac{1}{2}$+3t）=2t+$\frac{1}{2}$，
ON=$\frac{1}{2}$OB=10t+$\frac{3}{2}$，
∴MN=OM+ON=12t+2，
∴$\frac{AB-OP}{MN}$=$\frac{25t+4-t}{12t+2}$=2，
∴在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M、N分別是AP、OB的中點(diǎn)，$\frac{AB-OP}{MN}$的值不發(fā)生變化．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了數(shù)軸，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意利用分類(lèi)討論得出是解題關(guān)鍵．