Question

5．如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，點(diǎn)E在AB上，F(xiàn)是線段BD的中點(diǎn)，連接CE、FE．
（1）若AD=3$\sqrt{2}$，BE=4，求EF的長；
（2）求證：CE=$\sqrt{2}$EF；
（3）將圖1中的△AED繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，使AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連接BD，取BD的中點(diǎn)F，問（2）中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3$\sqrt{2}$，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是線段BD的中點(diǎn)，所以EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（2）連接CF，直角△DEB中，EF是斜邊BD上的中線，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=$\sqrt{2}$EF；
（3）思路同（1）．連接CF，延長EF交CB于點(diǎn)G，先證△EFC是等腰三角形，要證明EF=FG，需要證明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么這個三角形就是個等腰直角三角形，因此得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3$\sqrt{2}$，
∴AE=DE=3，
在Rt△BDE中，
∵DE=3，BE=4，
∴BD=5，
又∵F是線段BD的中點(diǎn)，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=2.5；
（2）如圖1，連接CF，線段CE與FE之間的數(shù)量關(guān)系是CE=$\sqrt{2}$FE；
解法1：∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四點(diǎn)共圓
且BD是該圓的直徑，
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)F是圓心，
∴EF=CF=FD=FB，
∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，
由圓周角定理得：∠DCE=∠DBE，
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°=∠CEF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．
解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，
∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴CF=EF=FB=FD，
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，
∴∠DFE=2∠ABD，
同理∠CFD=2∠CBD，
∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，
即∠CFE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．
（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
解法1：如圖2-1，連接CF，延長EF交CB于點(diǎn)G，
∵∠ACB=∠AED=90°，
∴DE∥BC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EDF和△GBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDF=∠GBF}\\{DF=BF}\\{∠EFD=∠GFB}\end{array}\right.$，
∴△EDF≌△GBF，
∴EF=GF，BG=DE=AE，
∵AC=BC，
∴CE=CG，
∴∠EFC=90°，CF=EF，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∴CE=$\sqrt{2}$FE；
解法2：如圖2-2，連結(jié)CF、AF，
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，
又∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，
∴FA=FB=FD，
在△ACF和△BCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FB}\\{AC=BC}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCF，
∴∠ACF=∠BCF=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵FA=FB，CA=CB，
∴CF所在的直線垂直平分線段AB，
同理，EF所在的直線垂直平分線段AD，
又∵DA⊥BA，
∴EF⊥CF，
∴△CEF為等腰直角三角形，
∴CE=$\sqrt{2}$EF．

點(diǎn)評 本題主要考查了幾何綜合變換，通過全等三角形來得出線段的相等，如果沒有全等三角形的要根據(jù)已知條件通過輔助線來構(gòu)建是解題的關(guān)鍵．