Question

10．如圖所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線BE和CD相交于點O．
（1）請說明∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）若∠A=60°，試猜想BC、CE、BD三條線段之間有何關(guān)系？并說明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠OBC+∠0CB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），然后利用三角形的內(nèi)角和等于180°列式計算即可求出∠B0C的度數(shù)；
（2）連接OA，作OF⊥AB于點F，0G⊥AC于點G，0H⊥BC于點H，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OF=OG=OH，從而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BH=BF，CH=CG，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠FOG=120°，根據(jù)對頂角相等求出∠EOD=120°，然后推出∠EF=∠DIG，再利用“角邊角”證明△DOF和△EOG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DF=EG，OE=OD，即可求解．

解答 （1）證明：∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
又∵BD、CE是△ABC的角平分線，
∴∠0BC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）解：如圖，

連接OA，作OF⊥AB于點F，OG⊥AC于點G，OH⊥BC于點H，
∵△ABC的兩條角平分線BE、CD交于O，
∴OF=OG=OH，
利用“HL”可得△BOF≌△BOH，△COG≌△COH，
∴BH=BF，CH=CG，
在四邊形AFOG中，∠FOG=360°-60°-90°×2=120°，
∴EOG=∠EOD-∠EOF=120°-∠EOF，
又∵∠EOD=∠BOC=120°，
∴∠DOF=∠EOD-∠EOF=120°-∠EO，
∴∠DOF=∠EOG，
在△DOF和△EOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DOF=∠EOG}\\{OF=OG}\\{∠DFO=∠EGO=90°}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△EOG（ASA），
∴DF=EG，OD=OE，
∴BC=BH+CH=BF+CG=BD+DF+CE-EG=CE+BD，
即BC=CE+BD．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，并根據(jù)∠A=60°推出，∠FOG=∠EOD=120°，從而證明得到∠DOF=∠EOG是證明三角形全等的關(guān)鍵，也是解決本題的難點．