Question

11．已知關(guān)于x的方程x²+（m-2）x+m-3=0．
（1）求證：方程x²+（m-2）x+m-3=0總有兩個實數(shù)根；
（2）求證：拋物線y=x²+（m-2）x+m-3總過x軸上的一個定點；
（3）在平面直角坐標系xOy中，若（2）中的“定點”記作A，拋物線y=x²+（m-2）x+m-3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，且△OBC的面積小于或等于8，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出△即可確定△≥0，進而得解；
（2）當y=0時，求出方程x²+（m-2）x+m-3=0的解，進而得證；
（3）根據(jù)題意，確定△OBC的面積小于或等于8，進而得解．

解答 解：（1）a=1，b=m-2，c=m-3，
△=b²-4ac=（m-2）²-4（m-3）
=m²-4m+4-4m+12
=m²-8m+16
=（m-4）²
∵（m-4）²≥0，
∴方程x²+（m-2）x+m-3=0總有兩個實數(shù)根；
（2）x=$\frac{2-m±\sqrt{（m-4）^{2}}}{2}$=$\frac{2-m±（m-4）}{2}$
∴x₁=-1，x₂=-m+3，
∴拋物線y=x²+（m-2）x+m-3總過x軸上的一個定點（-1，0）；
（3）∵拋物線y=x²+（m-2）x+m-3與x軸的另一個交點為B，與y軸交于點C，
∴B（3-m，0），C（0，m-3），
∴△OBC為等腰直角三角形，
∵△OBC的面積小于或等于8，
∴OB，OC小于或等于4，
∴3-m≤4或m-3≤4，
解得：-1≤m≤7，
∴-1≤m≤7，且m≠3．

點評 本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，以及一元二次方程的求根公式，還考查了一元二次方程與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，是綜合性比較強的題目，注意總結(jié)．