Question

14．如圖1，直線AB∥CD，直線l與直線AB，CD相交于點E，F，點P是射線EA上的一個動點（不包括端點E），將△EPF沿PF折疊，使頂點E落在點Q處．
（1）若∠PEF=48°，點Q恰好落在其中的一條平行線上，請直接寫出∠EFP的度數．
（2）若∠PEF=75°，∠CFQ=$\frac{1}{2}$∠PFC，求∠EFP的度數．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，當點Q落在AB上，根據三角形的內角和即可得到結論；①如圖2，當點Q落在CD上，由折疊的性質得到PF垂直平分EQ，得到∠1=∠2，根據平行線的性質即可得到結論；
（2）①如圖3，當點Q在平行線AB，CD之間時，設∠PFQ=x，由折疊可得∠EFP=x根據平行線的性質即可得到結論；②如圖4，當點Q在CD的下方時，設∠CFQ=x，由∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC得，∠PFC=2x根據平行線的性質即可得到結論．

解答 解：（1）①如圖1，當點Q落在AB上，
∴FP⊥AB，
∴∠EFP=90°-∠PEF=42°，
①如圖2，當點Q落在CD上，
∵將△EPF沿PF折疊，使頂點E落在點Q處，
∴PF垂直平分EQ，
∴∠1=∠2，
∵AB∥CD，
∴∠QFE=180°-∠PEF=132°，
∴∠PFE=$\frac{1}{2}∠$QFE=66°；
（2）①如圖3，當點Q在平行線AB，CD之間時，
設∠PFQ=x，由折疊可得∠EFP=x，
∵∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC，
∴∠PFQ=∠CFQ=x，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴75°+x+x+x=180°，
∴x=35°，
∴∠EFP=35°；
②如圖4，當點Q在CD的下方時，
設∠CFQ=x，由∠CFQ=$\frac{1}{2}∠$PFC得，∠PFC=2x，
∴∠PFQ=3x，
由折疊得，∠PFE=∠PFQ=3x，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴2x+3x+75°=180°，
∴x=21°，
∠EFP=3x=63°，
綜上所述，∠EFP的度數是35°或63°．

點評 本題考查了平行線的性質，折疊的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．