Question

14．如圖，一次函數y₁=ax+b的圖象與反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$的圖象相交于點A（-1，4），C（m，-2），AB⊥x軸，垂足為點B．
（1）求函數y₁=ax+b與y₂=$\frac{k}{x}$的解析式；
（2）當x為何值時，y₂＞y₁；
（3）在x軸上是否存在點P，使△PAO為等腰三角形？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先將點A的坐標代入反比例函數的解析式求得反比例函數的解析式，然后將點C的坐標代入求得點C的坐標，從而利用待定系數法確定一次函數是的解析式即可；
（2）根據求得的點A和點C的坐標結合函數的圖象確定x的取值范圍即可；
（3）分以OA為底邊、以OA為腰且以A為頂點和以OA為腰且以O為頂點三種情況確定點P的坐標即可．

解答 解：（1）把點A（-1，4）代入y₂=$\frac{k}{x}$中，得4=$\frac{k}{-1}$
解得k=-4，即雙曲線解析式為y₂=-$\frac{4}{x}$，
把點C（m，-2）代入y₂=-$\frac{4}{x}$中，得-2=-$\frac{4}{m}$
解得，m=2，
∴C（2，-2），
∵一次函數y₁=ax+b的圖象經過A、C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=4}\\{2a+b=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直線解析式為y₁=-2x+2；
（2）∵一次函數y₁=ax+b的圖象與反比例函數y₂=$\frac{k}{x}$的圖象相交于A、C兩點，坐標分別為（-1，4）、（2，-2）．
∴當y₂＞y₁時，-1＜x＜0或x＞2．
（3）如圖，∵點A（-1，4），
∴OA=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
當以AO為底邊時，由△P₁DO∽△ABO，
∴$\frac{{P}_{1}O}{AO}$=$\frac{OD}{OB}$，
即：$\frac{{P}_{1}O}{\sqrt{17}}$=$\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}}{1}$，
解得：P₁O=$\frac{17}{2}$，
∴點P₁的坐標為（-$\frac{17}{2}$，0）；
當以AO為腰以A為頂點時，
P₂B=BO=1，
此時點P₂的坐標為（-2，0）；
當以AO為腰以O為頂點時，
P₃O=P₄O=OA=$\sqrt{17}$，
此時點P₃的坐標為（-$\sqrt{17}$，0），點P₄的坐標為（$\sqrt{17}$，0）．

點評 本題考查了反比例函數的綜合知識，題目中涉及到了待定系數法確定反比例函數和一次函數的解析式及分類討論的數學思想，知識點較多，難度較大．