Question

14．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當此方程有一根為零時，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的圖象交于A、B兩點，若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標；
（3）將（2）中的二次函數(shù)圖象x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分保持不變，翻折后的圖象與原圖象x軸上方的部分組成一個“W”形狀的新圖象，若直線y=$\frac{1}{2}$x+b與該新圖象恰好有三個公共點，求b的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)一元二次方程根的情況利用判別式與0的關(guān)系可以求出k的值；
（2）利用m先表示出M與N的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式表示出MN的長度，根據(jù)二次函數(shù)的極值即可求出MN的最大長度和M的坐標；
（3）根據(jù)圖象的特點，分兩種情況討論，分別求出b的值即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$有兩個不相等的實數(shù)根．
∴$△=^{2}-4ac=4-4×\frac{k-1}{2}＞0$．
∴k-1＜2．
∴k＜3．
∵k為正整數(shù)，
∴k為1，2．
（2）把x=0代入方程${x}^{2}+2x+\frac{k-1}{2}=0$得k=1，
此時二次函數(shù)為y=x²+2x，
此時直線y=x+2與二次函數(shù)y=x²+2x的交點為A（-2，0），B（1，3）
由題意可設M（m，m+2），其中-2＜m＜1，
則N（m，m²+2m），
MN=m+2-（m²+2m）=-m²-m+2=-$（m+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}$．
∴當m=-$\frac{1}{2}$時，MN的長度最大值為$\frac{9}{4}$．
此時點M的坐標為$（-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$．

（3）當y=$\frac{1}{2}$x+b過點A時，直線與新圖象有3個公共點（如圖2所示），
把A（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+b得b=1，
當y=$\frac{1}{2}$x+b與新圖象的封閉部分有一個公共點時，直線與新圖象有3個公共點．
由于新圖象的封閉部分與原圖象的封閉部分關(guān)于x軸對稱，所以其解析式為y=-x²-2x
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{y=-{x}^{2}-2x}\end{array}\right.$有一組解，此時$-{x}^{2}-\frac{5}{2}x-b=0$有兩個相等的實數(shù)根，
則$（\frac{5}{2}）^{2}-4b=0$所以b=$\frac{25}{16}$，
綜上所述b=1或b=$\frac{25}{16}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了根的判別式的應用，還考查了兩函數(shù)圖象的交點問題，難點在于（3）求出直線與拋物線有3個交點的情況，根據(jù)題意分類討論，并且作出圖形更利于解決問題．