Question

15．數(shù)學課上，老師和同學們對矩形紙片進行了圖形變換的以下探究活動：
（1）如圖1，若連接矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，則Rt△ADC可由Rt△ABC經(jīng)過旋轉變換得到，這種旋轉變換的旋轉中心是點O、旋轉角度是180°；
（2）如圖2，將矩形紙片ABCD沿折痕EF對折、展平．再沿折痕GC折疊，使點B落在EF上的點B′處，這樣能得到∠B′GC．求∠B′GC的度數(shù)．
（3）如圖3，取AD邊的中點P，剪下△BPC，將△BPC沿著射線BC的方向依次進行平移變換，每次均移動BC的長度，得到了△CDE、△EFG和△GHI（如圖4）．若BH=BI，BC=a，則：①證明以BD、BF、BH為三邊構成的新三角形的是直角三角形；②若這個新三角形面積小于50$\sqrt{15}$，請求出a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形是中心對稱圖形，可以將Rt△ABC旋轉180°得到Rt△ADC而得出結論；
（2）連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，就有BB'=B'C，由翻折可得B'C=BC，從而△BB'C為等邊三角形．就可以求出∠B'CB=60°；
（3）分別取CE、EG、GI的中點M、Q、N，連接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，由BP=PC，根據(jù)平移變換的性質，就有△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，就有DM⊥CE，F(xiàn)Q⊥EG，HN⊥GI，由勾股定理就可以求出HN²=$\frac{15}{4}$a²，從而得出新三角形三邊的值，從而得出結論．

解答 解：（1）將△ABC繞點O旋轉180°后可得到△ADC；
故答案為：O、180；

（2）如答圖1，連接BB'，由題意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，
B'C=BC，
∴△BB'C為等邊三角形．
∴∠B'CB=60°，
（或由三角函數(shù)FC：B'C=1：2求出∠B'CB=60°也可以．）
∴∠B'CG=30°，
∴∠B'GC=60°；

（3）①如答圖2，分別取CE、EG、GI的中點M、Q、N，連接DM、FQ、HN、BD、BF、BH，
∵△PBC中，PB=PC，根據(jù)平移變換的性質，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，
∴DM⊥CE，F(xiàn)Q⊥EG，HN⊥GI．
在Rt△BHN中，BH=BI=4a，
BH²=HN²+BN²，HN²=$\frac{15}{4}$a²，
則DM²=FQ²=HN²=$\frac{15}{4}$a²，
BD²=BM²+DM²=6a²，BF²=BQ²+FQ²=10a²，
新三角形三邊長為4a、$\sqrt{6}$a、$\sqrt{10}$a．
∵BH²=BD²+BF²
∴新三角形為直角三角形．        
（或通過轉換得新三角形三邊就是BD、DI、BI，即求△GBI的面積或利用△HBI與△HGI相似，求△HBI的面積也可以）．
②其面積為$\frac{1}{2}$$\sqrt{6}$a•$\sqrt{10}$a=$\sqrt{15}$a²．
∵$\sqrt{15}$a²＜50$\sqrt{15}$，
∴a²＜50
∴a的最大整數(shù)值為7．

點評 本題考查了旋轉變換的運用，翻折變換的運用，平移變換的運用，等邊三角形的性質的運用，勾股定理的運用，等腰三角形的性質的運用，三角形的面積公式的運用．本題的綜合性較強要求學生熟練的運用圖形變換解題是關鍵．