Question

11．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P（t，0）為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c，求解即可；
（2）作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結(jié)AM₁，則△AM₁C是等腰三角形，然后求出OM₁得出M₁的坐標(biāo)，當(dāng)CA=CM₂時(shí)，則△AM₂C是等腰三角形，求出OM₂得出M₂的坐標(biāo)，當(dāng)CA=AM₃時(shí)，則△AM₃C是等腰三角形，求出OM₃得出M₃的坐標(biāo)，當(dāng)CA=CM₄時(shí)，則△AM₄C是等腰三角形，求出OM₄得出M₄的坐標(biāo)，
（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸或y軸右側(cè)時(shí)，設(shè)直線與BC交與點(diǎn)D，先求出S_△BOC，再根據(jù)△BPD∽△BOC，得出$\frac{{S}_{△BDP}}{{S}_{△BOC}}$=（$\frac{BP}{BO}$）²，$\frac{{S}_{△BPD}}{6}$=（$\frac{4-t}{4}$）²，求出S=S_△BPD；當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，設(shè)直線與AC交與點(diǎn)E，根據(jù)$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，得出$\frac{{S}_{△APE}}{3}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，求出S=S_△ABC-S_△APE=9-$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$，再整理即可．

解答 解：（1）把A（-2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{0=4a-2b+c}\\{0=16a+4b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{8}}\\{b=\frac{3}{4}}\\{c=3}\end{array}\right.$，
則拋物線的解析式是：y=-$\frac{3}{8}$x²+$\frac{3}{4}$x+3；

（2）如圖1，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結(jié)AM₁，則△AM₁C是等腰三角形，
∵AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CN=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
∵△CNM₁∽△COA，
∴$\frac{CN}{CO}$=$\frac{C{M}_{1}}{CA}$，
∴$\frac{\frac{\sqrt{13}}{2}}{3}$=$\frac{C{M}_{1}}{\sqrt{13}}$，
∴CM₁=$\frac{13}{6}$，
∴OM₁=OC-CM₁=3-$\frac{13}{6}$=$\frac{5}{6}$，
∴M₁的坐標(biāo)是（0，$\frac{5}{6}$），
當(dāng)CA=CM₂=$\sqrt{13}$時(shí)，則△AM₂C是等腰三角形，
則OM₂=3+$\sqrt{13}$，
M₂的坐標(biāo)是（0，3+$\sqrt{13}$），
當(dāng)CA=AM₃=$\sqrt{13}$時(shí)，則△AM₃C是等腰三角形，
則OM₃=3，
M₃的坐標(biāo)是（0，-3），
當(dāng)CA=CM₄=$\sqrt{13}$時(shí)，則△AM₄C是等腰三角形，
則OM₄=$\sqrt{13}$-3，
M₄的坐標(biāo)是（0，3-$\sqrt{13}$），

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸或y軸右側(cè)時(shí)，
設(shè)直線與BC交于點(diǎn)D，
∵OB=4，OC=3，
∴S_△BOC=6，
∵BP=BO-OP=4-t，
∴$\frac{BP}{BO}$=$\frac{4-t}{4}$，
∵△BPD∽△BOC，
∴$\frac{{S}_{△BDP}}{{S}_{△BOC}}$=（$\frac{BP}{BO}$）²，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{6}$=（$\frac{4-t}{4}$）²，
∴S=S_△BPD=$\frac{3}{8}$t²-3t+6（0≤t＜4）；
當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，
設(shè)直線與AC交與點(diǎn)E，
∵OP=-t，A（-2，0），
∴AP=t+2，
∴$\frac{AP}{AO}$=$\frac{t+2}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△APE}}{{S}_{△AOC}}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，
∴$\frac{{S}_{△APE}}{3}$=（$\frac{AP}{AO}$）²，
∴S_△APE=$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$，
∴S=S_△ABC-S_△APE=9-$\frac{3（t+2）^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}$t²-3t+6（-2＜t＜0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、線段的垂直平分線等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，作出輔助線，注意分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．