Question

19．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，MN過點(diǎn)O且與邊AD、BC分別交于點(diǎn)M和點(diǎn)N．
（1）請你判斷OM和ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）過點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長線于點(diǎn)E，當(dāng)AB=6，AC=8時，求△BDE的周長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AD∥BC，AO=OC，即可推得OM=ON．
（2）首先根據(jù)四邊形ABCD是菱形，判斷出AC⊥BD，AD=BC=AB=6，進(jìn)而求出BO、BD的值是多少；然后根據(jù)DE∥AC，AD∥CE，判斷出四邊形ACED是平行四邊形，求出DE=AC=6，即可求出△BDE的周長是多少．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AO=OC，
∴$\frac{OM}{ON}=\frac{AO}{OC}=1$，
∴OM=ON．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AD=BC=AB=6，
∴BO=$\sqrt{{AB}^{2}{-AO}^{2}}=\sqrt{{6}^{2}{-（8÷2）}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$BD=2BO=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$，
∵DE∥AC，AD∥CE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴DE=AC=8，
∴△BDE的周長是：
BD+DE+BE
=BD+AC+（BC+CE）
=4$\sqrt{5}$+8+（6+6）
=20$+4\sqrt{5}$
即△BDE的周長是20$+4\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 （1）此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法．
（2）此題還考查了三角形的周長的含義以及求法，以及勾股定理的應(yīng)用，要熟練掌握．