Question

6．如圖，四邊形OMTN中，OM=ON，TM=TN，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．
（1）試探究箏形對角線之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）在箏形ABCD中，已知AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC為對角線，BD=8，
①是否存在一個圓使得A，B，C，D四個點都在這個圓上？若存在，求出圓的半徑；若不存在，請說明理由；
②過點B作BF⊥CD，垂足為F，BF交AC于點E，連接DE，當四邊形ABED為菱形時，求點F到AB的距離．

Answer 1

分析 （1）證明△OMP≌△ONP，即可證得MN⊥OT，且OT平分MN；
（2）①若經(jīng)過A，B，C，D四個點的圓存在，則對角互補，據(jù)此即可判斷；
②已知FM⊥AB，作EG⊥AB于G，根據(jù)菱形的面積公式求得GE的長，然后根據(jù)△BNE∽△BFD求得BF的長，再根據(jù)△BEG∽△BFM求得FM的長．

解答 解：（1）猜想：箏形對角線之間的位置關(guān)系：垂直．即OT⊥MN．
證明：連接OT，MN，
在△OMT和△ONT中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{OT=OT}\\{TM=TN}\end{array}\right.$，
∴△OMT≌△ONT（SSS），
∴∠MOT=∠NOT，
∵OM=ON，
∴OT⊥MN（等腰三角形三線合一）．
（2）①存在．
由（1）得AC⊥BD，設(shè)AC與BD交于點M，
在Rt△AMB中，AB=5，BM=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴AM=$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=3，
∵A、B、C、D四點共圓，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
又∵△ABC≌△ADC，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC即為所求圓的直徑
∵∠BAM=∠BAC，∠ABC=∠AMB=90°，
∴△ABM∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AM}{AB}$，即$\frac{5}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴AC=$\frac{25}{3}$
∴圓的半徑為：$\frac{1}{2}$AC=$\frac{25}{6}$．
②作FM⊥AB，作EG⊥AB于G．
∵四邊形ABED是菱形，
∴AE⊥BD，且BN=$\frac{1}{2}$BD=4，
∴AN=NE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{N}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，AE=6．
∴S_菱形ABED=$\frac{1}{2}$AE•BD=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
又∵S_菱形ABED=AB•EG，
∴EG=$\frac{24}{5}$．
∵∠DBF=∠DBF，∠BNE=∠BFD，
∴△BNE∽△BFD，
∴$\frac{BF}{BN}=\frac{BD}{BE}$，即$\frac{BF}{4}=\frac{8}{5}$，
∴BF=$\frac{32}{5}$．
∵GE⊥AB，F(xiàn)M⊥AB，
∴GE∥FM，
∴△BEG∽△BFM，
∴$\frac{FM}{GE}=\frac{BF}{BE}$，即$\frac{FM}{\frac{24}{5}}=\frac{\frac{32}{5}}{5}$，
解得：FM=$\frac{768}{125}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵，在初中范圍內(nèi)求線段長的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解．