Question

5．如圖，已知點I是△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交外接圓O于E，求證：
（1）IE=EC；
（2）IE²=ED•EA．

Answer 1

分析 （1）由內(nèi)心的性質(zhì)可知；∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE，由圓周角定理可知∠BCE=∠BAE，從而得到∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE，從而得到∠EIC=∠ICE，于是得到IE=EC；
（2）先證明DCE∽△CAE，從而可得到CE²=DE•EA，由IE=EC從而得到IE²=DE•EA．

解答 解：（1）如圖所示；連接IC．

∵點I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ACI=∠BCI，∠BAE=∠CAE．
又∵∠BAE=∠BCE，
∴∠CAE=∠BCE．
∴∠CAE+∠ACI=∠ICB+∠BCE．
∴∠EIC=∠ICE．
∴IE=EC．
（2）由（1）可知：∠CAE=∠BCE．
又∵∠AEC=∠DEC，
∴△DCE∽△CAE．
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{DE}{CE}$．
∴CE²=DE•EA．
∵IE=EC，
∴IE²=DE•EA．

點評 本題主要考查的是三角形的內(nèi)切圓、相似三角形的性質(zhì)和判定、圓周角定理，明確三角形的內(nèi)心是三角形內(nèi)角平分線的交點是解題的關鍵．