Question

20．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，點P，Q分別從點B，C同時出發(fā)，點P在BC邊上沿BC方向以2cm/s的速度運動，點Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為xs．
（1）求BC的長；
（2）①求x的取值范圍；
②是否存在四邊形APCQ為平行四邊形？若存在，求出此時x的值；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)△CPQ的面積為y（cm²），求y與x的函數(shù)解析式，并探究x為何值時，△CPQ的面積取得最大值？并求出此最大值．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC，再根據(jù)三角函數(shù)和等腰梯形的性質(zhì)解答即可；
（2）①根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出CD=AB=15，AD=10，利用點Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度勻速運動進而得出x的取值范圍即可；
②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進行解答即可；
（3）根據(jù)分$0≤x≤5，5＜x＜\frac{25}{3}，\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$三種情況得出解析式解答即可．

解答 解：（1）作AE⊥BC，如圖：

∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=10cm，AB=CD=15cm，sinB=$\frac{4}{5}$，
∴BE=$15×\frac{3}{5}=9$，
∴BC=10+9+9=28cm；
（2）①∵BC=28cm，點P在BC邊上沿BC方向以2cm/s的速度運動，
∴所需時間為14s；
∵點Q沿C→D→A→B方向以3cm/s的速度勻速運動，CD+DA+AB=15+10+15=40cm，
∴所需時間為$\frac{40}{3}$s，
可得：x的取值范圍為：$0≤x≤\frac{40}{3}$；
②不存在四邊形APCQ為平行四邊形，
理由如下：
當點Q在AD上，且AQ=PC時，四邊形APCQ為平行四邊形，
∵AD=10cm，CD=15cm，點Q的運動路程為3xcm，
∴AQ=AD+CD-3x=（25-3x）cm，
∵BC=28cm，BP=2xcm，
∴25-3x=28-2x，
解得：x=-3，
∵$0≤x≤\frac{40}{3}$，
∴不存在四邊形APCQ為平行四邊形；
（3）當點Q在CD上運動時，如圖2：

即0≤x≤5時，y=-2.4（x-7）²+117.6；
當點Q在AD上運動時，如圖3：

即$5＜x＜\frac{25}{3}$時，y=-12x+168；
當點Q在AB上運動時，如圖4：

即$\frac{25}{3}≤x≤\frac{40}{3}$時，y=0.8（3x²-82x+560），
當x=5cm時，y=108cm²．

點評 本題考查了梯形性質(zhì)，平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：平行四邊形的對邊相等，等腰梯形的兩腰相等，同時注意數(shù)形結(jié)合表示出△CPQ的面積是解題關(guān)鍵．