Question

17．已知關于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-4m-5=0①．
（1）若m是滿足12＜m＜20的整數(shù)，且方程有兩個整數(shù)根，求m的值；
（2）若關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-1=0②與x²-4mx+4m²-4m-5=0①的根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值．

Answer 1

分析 （1）由方程有兩個整數(shù)根，可得△=16m+20=4（4m+5），即可得4m+5是平方數(shù)，又由m是滿足12＜m＜20的整數(shù)，即可求得答案；
（2）由關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²-1=0②與x²-4mx+4m²-4m-5=0①的根都是整數(shù)，首先易得-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$，又由m取整數(shù)，即可求得答案．

解答 解：（1）∵關于x的一元二次方程x²-4mx+4m²-4m-5=0方程有兩個整數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（-4m）²-4×1×（4m²-4m-5）=16m+20=4（4m+5），
∵方程有兩個整數(shù)根，
∴4m+5是平方數(shù)，
∵m是滿足12＜m＜20的整數(shù)，
∴m=19；

（2）∵△₁=b²-4ac=[-（2m-1）]²-4×1×（m²-1）=-4m+5≥0，
∴m≤$\frac{5}{4}$，
∵△₂=b²-4ac=16m+20≥0，
∴m≥-$\frac{5}{4}$，
∴-$\frac{5}{4}$≤m≤$\frac{5}{4}$，
∴m=-1，0，1，
∵根都是整數(shù)，
∴m=±1．

點評 此題考查了根的判別式以及完全平方數(shù)．注意根據(jù)題意得到△=16m+20=4（4m+5），繼而4m+5是平方數(shù)是解此題的關鍵．