Question

11．已知，如圖，拋物線y=ax2+x+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0）．
（1）試確定拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）已知點(diǎn)C是拋物線在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，求△OBC的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)△OPC與△OBC相似時(shí)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)拋物線的解析式得到關(guān)于a、c的方程組，從而可求得a、c的值，故此可得到拋物線的解析式；
（2）先利用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)C在x軸上方移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)最大時(shí)，三角形的面積最大，故此可知點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)（1，2），然后依據(jù)三角形的面積公式求解即可；
（3）過(guò)點(diǎn)C作PD⊥x軸，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．由點(diǎn)C的坐標(biāo)為可得到CD=2，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$，由相似三角形的判斷定理可知當(dāng)$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$時(shí)，△OBC∽△POC，于是可求得PC的長(zhǎng)，然后在Rt△PEB中，可求得PE、BE的長(zhǎng)，由OE=OB-EB可求得OE的長(zhǎng)，故此可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+c=1}\\{9a+c=-3}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{3}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$．

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+x+$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+2．
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．
由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C到x軸的距離最大時(shí)，△OBC的面積取得最大值，
∴點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)（1，2）．
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×3×2=3．

（3）如圖所示：過(guò)點(diǎn)C作PD⊥x軸，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2），
∴CD=2．
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：CO=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{2}$．
∵∠PCO=∠OCP，
∴當(dāng)$\frac{CP}{OC}$=$\frac{OC}{BC}$時(shí)，△OBC∽△POC，
∴CP=$\frac{O{C}^{2}}{BC}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
∴PB=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∵CD=BD，∠CDB=90°，
∴∠CBD=45°．
又∵∠PEB=90°，
∴∠EPB=45°．
∴PE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PB=$\frac{3}{4}$．
∴OE=OB-BE=$\frac{9}{4}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）．

點(diǎn)評(píng) .本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求二次函數(shù)的最大值、三角形的面積公式、相似三角形的判定，找出△OBC∽△POC的條件是解題的關(guān)鍵．