Question

11．已知拋物線y=-x²+（m-4）x+2m+4，與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0），與y軸交于C點，且x₁，x₂滿足x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．
（1）求拋物線的解析式；
（2）能否找到直線y=kx+b與拋物線交于P，Q兩點，使y軸恰好平分△CPQ的面積，求出k，b所滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，以及x₁+2x₂=0，求得m的值；
（2）y軸平分三角形CPQ面積，P，Q橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則把一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式得到的一元二次方程的兩個解的根的和是0，據(jù)此即可求解．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=m-4，x₁+2x₂=0
∴x₂=4-m
x₁=2m-8
∵x₁•x₂=-（2m+4）=（4-m）（2m-8）
∴m=2或7，
∵x₁＜x₂，即2m-8＜4-m，
∴m＜3，
∴m=2．
則拋物線的解析式是：y=-x²-2x+8；
（2）∵y軸平分三角形CPQ面積，
∴P，Q橫坐標(biāo)互為相反數(shù)
聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+8}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，
則x²+（2+k）x+b-8=0，
∵x₁+x₂=-（2+k）=0，
△=（2+k）²-4（b-8）＞0，
解得：k=-2，b＜8．

點評 本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程，二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)的方程的根．