Question

20．我們定義：有一組對角相等而另一對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”．已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=5，AD=4，求對角線AC的長．

Answer 1

分析 分兩種情況：①當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AE，得出DE，再用三角函數(shù)求出CD，由勾股定理求出AC；
②當∠BCD=∠DAB=60°時，過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的性質(zhì)得出DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，求出CN、BC，根據(jù)勾股定理求出AC即可．

解答 解：分兩種情況：
①當∠ADC=∠ABC=90°時，延長AD，BC相交于點E，如圖1所示：

∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=5，
∴∠E=30°，
∴AE=2AB=10，
∴DE=AE-AD=10-4═6，
∵∠EDC=90°，∠E=30°，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
②當∠BCD=∠DAB=60°時，
過點D作DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N，如圖2所示：

則∠AMD=90°，四邊形BNDM是矩形，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADM=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AD=2，
∴DM=2$\sqrt{3}$
∴BM=AB-AM=5-2=3，
∵四邊形BNDM是矩形，
∴DN=BM=3，BN=DM=2$\sqrt{3}$，
∵∠BCD=60°，
∴CN=$\sqrt{3}$，
∴BC=CN+BN=3$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
綜上所述：AC的長為2$\sqrt{7}$或2$\sqrt{13}$．

點評 此題考查了新定義、四邊形內(nèi)角和定理、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)等知識，需要進行分類討論，通過作輔助線運用三角函數(shù)和勾股定理才能得出結果．