Question

6．已知關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²-（2m+2）x+m+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若兩實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和為S，直接寫出S的范圍．

Answer 1

分析 （1）首先利用根的判別式大于0，且m-1≠0，求得m的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩個(gè)根式a b，由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=$\frac{2m+2}{m-1}$，ab=$\frac{m+4}{m-1}$，代入S=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$，求出即可．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x²-（2m+2）x+m+4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=（2m+2）²-4×（m-1）（m+4）=-4m+20＞0，m-1≠0，
解得：m＜5，m≠1；
（2）∵設(shè)方程的兩個(gè)根是a b，
∴a+b=$\frac{2m+2}{m-1}$，ab=$\frac{m+4}{m-1}$，
∴S=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{a+b}{ab}$=$\frac{2m+2}{m+4}$，
∵m＜5，
∴S＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式，注意：如果m n是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則m+n=-$\frac{a}$，mn=$\frac{c}{a}$．