Question

4．已知任意一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和是180°．
（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線BO與∠ACB的角平分線CO的交點(diǎn)為O．
①若∠A=70°，求∠BOC的度數(shù)；
②若∠A=α，求∠BOC的度數(shù)；
（2）如圖2，若BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的三等分線，也就是∠OBC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{3}$∠ACB，∠A=α，求∠BOC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BOC的值；②根據(jù)角平分線的定義可得∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，然后表示出∠OBC+∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式整理即可得證；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)三等分線求出∠OBC+∠OCB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），代入求出即可；

解答 解：（1）①∵∠ABO=∠CBO，∠BCO=∠ACO，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-70°）=55°，
∴在△BOC中，∠BOC=180°-55°=125°；
②證明：∵∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
在△OBC中，
∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）
=90°+$\frac{1}{2}$α；
（2）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的3等分線，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{3}$（180°-α），
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-$\frac{1}{3}$（180°-α）=120°+$\frac{1}{3}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了角平分線定義，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度數(shù)，題目比較好，求解過(guò)程類似．