Question

（1）如圖1，?ABCD，AE⊥BD，CF⊥BD，則AE、CF滿足的數(shù)量關(guān)系是

 

；
（2）如圖2，P為AD邊上一點(diǎn)，過A、C、D三點(diǎn)分別作BP的垂線，垂足分別為E、F、G，判斷線段AE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3，P為AD延長線上任一點(diǎn)，過A、C、D三點(diǎn)分別作BP的垂線，垂足分別為E、F、G，則線段AE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系是

 

．（不需要證明）

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：開放型

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD，AB∥CD，則∠ABE=∠FDC，易證得Rt△ABE≌Rt△CDF，即可得到AE=CF；
（2）過D點(diǎn)作DH⊥CF于H點(diǎn)，如圖②，由CF⊥BP，DG⊥BP得到四邊形DHFG為矩形，則DG=FH，由GF∥DH得∠APB=∠ADH，再由AD∥BC得到∠APB=∠PBC，則∠ADH=∠PBC，
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ADC，得到∠ABE=∠CDH，易證Rt△ABE≌Rt△CDH，則AE=CH，因此CF=CH+FH=AE+DG；
（3）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H點(diǎn)，如圖③，易得四邊形DGEH為矩形，則DG=EH，與（2）類似證RtADH≌Rt△CBF得到AH=CF，則有結(jié)論AE-DG=CF．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDC，
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF，
∴AE=CF；
故答案為AE=CF；
（2）線段AE、CF、DG之間的數(shù)量關(guān)系為：AE+DG=CF．理由如下：
過D點(diǎn)作DH⊥CF于H點(diǎn)，如圖②，
∵CF⊥BP，DG⊥BP，
∴四邊形DHFG為矩形，
∴DG=FH，∠APB=∠ADH，
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC，
∴∠ADH=∠PBC，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∴∠ABE=∠CDH，
而∠AEB=90°，
在△ABE和△CDH中，
AB=CD
∠ABE=∠CDH
∠AEB=∠DHC=90°
∴Rt△ABE≌Rt△CDH，
∴AE=CH，
∴CF=CH+FH=AE+DG；
（3）過D點(diǎn)作DH⊥AE于H點(diǎn)，如圖③，
∵AE⊥BP，DG⊥BP，
∴四邊形DGEH為矩形，
∴DG=EH，
∵DH∥BP，
∴∠ADH=∠P
而AP∥BC，
∴∠P=∠PBC，
∴∠ADH=∠CBF，
而AD=BC，CF⊥BF，
∴Rt△ADH≌Rt△CBF，
∴AH=CF，
∴AE-AH=HE，
∴AE-CF=DG，
即AE-DG=CF．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有一條邊對應(yīng)相等，并且有兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．