Question

7．如果方程x²+px+q=0的兩個根是x₁、x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，請根據以上結論，解決下列問題：
（1）已知x₁、x₂是方程x²+4x-2=0的兩個實數根，求$\frac{1}{x_1}$+$\frac{1}{x_2}$的值；
（2）已知方程x²+bx+c=0的兩根分別為$\sqrt{2}$+1、$\sqrt{2}$-1，求出b、c的值；
（3）關于x的方程x²+（m-1）x+m²-3=0的兩個實數根互為倒數，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用根與系數的關系得出x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-2，進一步整理代入求得數值即可；
（2）利用根與系數的關系直接求得答案即可；
（3）利用兩個實數根互為倒數得出m²-3=1，求得m的數值，進一步判斷得出答案即可．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=-4，x₁•x₂=-2，
∴$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}$=2．
（2）$b=-（\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1）$=$-2\sqrt{2}$，$c=（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）$=1；
（3）∵m²-3=1，
∴m=±2（2分），
當m=2時，方程沒有實數根，舍去，
當m=-2時，方程有兩個實數根互為倒數．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．