Question

2．如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么成這個三角形為“好玩三角形”．
（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求證：△ABC是“好玩三角形”；
（2）如圖2，在正方形ABCD中，點P、Q為BC、CD上的點，且BP=DQ，當三角形APQ為好玩三角形，且PQ等于PQ邊上的中線時，求$\frac{BP}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點D，連接BD，設BC=$\sqrt{3}$x，根據(jù)條件可以求出AC=2x，由三角函數(shù)可以求出BD=2x，從而得出AC=BD，從而得出結論；
（2）如圖2中，首先證明AE是△APQ的中線，設PE=QE=x，則AE=PQ=2x，推出AC=AE+CE=3x，AB=BC=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，PC=$\sqrt{2}$x，BP=BC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由此即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，取AC的中點D，連接BD，

∵∠C=90°，tanA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴設BC=$\sqrt{3}$x，則AC=2x，
∵D是AC的中點，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=x
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+{x}^{2}}$=2x，
∴AC=BD
∴△ABC是“好玩三角形”；

（2）如圖2中，連接AC．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=90°，
∵PB=DQ，
∴△ABP≌△ADQ，PC=CQ，
∴AP=AQ，
∴AC垂直平分線段PQ，
∴AE是△APQ的中線，易知△PCE，△CEQ，△ACB都是等腰直角三角形，
設PE=QE=x，則AE=PQ=2x，
∴AC=AE+CE=3x，
AB=BC=$\frac{3x}{\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$x，PC=$\sqrt{2}$x，BP=BC-PC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}x}{\frac{3\sqrt{2}}{2}x}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題四邊形綜合運用的試題，考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，銳角三角形函數(shù)值的運用，解答時靈活運用三角函數(shù)值建立方程求解是解答的關鍵．