Question

8．如圖，矩形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，1），B（4，1），C（4，5），D（1，5），將一次函數(shù)y=x-3的圖象L沿y軸以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，L掃過矩形的面積為S．
（1）t=0秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)B；t=3秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)A．
（2）試求當(dāng)0≤t≤7時(shí)，S與t之間的關(guān)系．（用含t的式子表示S）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)平移的方向，設(shè)直線y=x-3向上平移t秒后得到的直線為y=x-3+t，再分別把點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)代入計(jì)算即可；
（2）分3種情況，利用直角三角形與直角梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算，即可得到S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 解：（1）設(shè)直線y=x-3向上平移t秒后，得到直線y=x-3+t，
把B（4，1）代入y=x-3+t，可得1=4-3+t，
解得t=0，
∴當(dāng)t=0秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)B；
把A（1，1）代入y=x-3+t，可得1=1-3+t，
解得t=3，
∴當(dāng)t=3秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)A；
故答案為：0，3；

（2）同理可得，當(dāng)t=4秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)C；當(dāng)t=7秒時(shí)，L經(jīng)過點(diǎn)D；
分三種情況：
①當(dāng)0≤t≤3時(shí)，如圖，

此時(shí)MB=t，NB=t，
∴S=${\frac{1}{2}t}^{2}$；
②當(dāng)3＜t≤4時(shí)，如圖，

此時(shí)，BM=t，AB=3，NA=t-3，
∴S=$\frac{（t-3+t）×3}{2}$=3t-$\frac{9}{2}$；
③當(dāng)4＜t≤7時(shí)，DM=3-CM=3-（t-4）=7-t，DN=7-t，
∴S=3×4-$\frac{1}{2}$（7-t）²=-$\frac{1}{2}$t²+7t-$\frac{25}{2}$，

綜上所述：S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系為S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}（0≤t＜3）}\\{3t-\frac{9}{2}（3≤t＜4）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+7t-\frac{25}{2}（4≤t≤7）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積公式以及直角梯形的面積公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形和梯形的面積公式找出S關(guān)于t的關(guān)系式．解題時(shí)注意：需要結(jié)合圖形的變化按時(shí)間t進(jìn)行分類討論．