Question

3．如圖，AB為⊙O的直徑，CA，CD為⊙O的切線．
（1）求證：∠DEB=∠ACO；
（2）AB，CD的延長(zhǎng)線交于F，AC=6，AF=8，求BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AE，如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得CA=CD，∠ACE=∠DCE，則可判斷△ACE≌△DCE，得到∠AEC=∠DEC，所以∠4=∠3+∠DEB，再證明∠2=∠5，而∠2=∠3，所以∠4=∠5+∠DEB，根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠4=∠5+∠ACO，所以∠DEB=∠ACO；
（2）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)切線長(zhǎng)定理和切線的性質(zhì)得AC=CD=6，∠CAF=90°，∠ODF=90°，則可利用勾股定理計(jì)算出CF=10，所以DF=CF-CD=4，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r，OF=8-r，然后在Rt△ODF中利用勾股定理得到∴r²+4²=（8-r）²，解方程得r=3，則有BF=AF-AB=2．

解答 （1）證明：連結(jié)AE，如圖，
∵CA，CD為⊙O的切線，
∴CA=CD，∠ACE=∠DCE，
在△ACE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{∠ACE=∠DCE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCE，
∴∠AEC=∠DEC，
∴∠4=∠OED，即∠4=∠3+∠DEB，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵CA為⊙O的切線，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠2=∠5，
而∠2=∠3，
∴∠4=∠5+∠DEB，
∵∠4=∠5+∠ACO，
∴∠DEB=∠ACO；
（2）解：連結(jié)OD，如圖，
∵CA，CD為⊙O的切線，
∴AC=CD=6，∠CAF=90°，∠ODF=90°，
在Rt△ACF中，CF=$\sqrt{A{C}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴DF=CF-CD=10-6=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OD=r，OF=8-r，
在Rt△ODF中，∵OD²+DF²=OF²，
∴r²+4²=（8-r）²，解得r=3，
∴BF=AF-AB=8-6=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．也考查了勾股定理和切線長(zhǎng)定理．