Question

11．在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊AD，AB，BC的中點，點H是直線BC上一點．將線段FH繞點F逆時針旋轉90°，得到線段FK，連接EK．

（1）如圖1，求證：EF=FG，且EF⊥FG；
（2）如圖2，若點H在線段BC的延長線上，猜想線段BH，EF，EK之間滿足的數(shù)量關系，并證明你的結論．
（3）若點H在線段BC的反向延長線上，請在圖3中補全圖形并直接寫出線段BH，EF，EK之間滿足的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質證明△AEF≌△BGF，得到EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，根據(jù)三角形的內角和求得∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，即EF⊥FG．  
（2）BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK；根據(jù)將線段FH繞點F逆時針旋轉90°，得到線段FK，得到FH=FK，∠HFK=90°，所以∠KFE+∠EFH=90°，由∠EFG=90°，所以∠HFG+∠EFH=90°，得到∠KFE=∠HFG，證明△EFK≌△GFH，所以EK=GH．由△BFG是等腰直角三角形，所以BG=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG，得到BH=BG+GH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG+EK=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK，即BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK． 
（3）根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)（2）的方法直接得到結論．

解答 解：（1）∵正方形ABCD，E，F(xiàn)，G分別是邊AD，AB，BC的中點，
∴AE=AF=FB=BG，∠A=∠B=90°，
在△AEF和△BGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{∠A=∠B}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGF，
∴EF=FG，∠AFE=∠BFG=45°，
∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=90°，即EF⊥FG．  
（2）BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK；                 
證明：將線段FH繞點F逆時針旋轉90°，得到線段FK，
∴FH=FK，∠HFK=90°，
∴∠KFE+∠EFH=90°，
∵∠EFG=90°，
∴∠HFG+∠EFH=90°，
∴∠KFE=∠HFG，
在△EFK和△GFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{FK=FH}\\{∠KFE=∠HFG}\\{EF=FG}\end{array}\right.$，
∴△EFK≌△GFH，
∴EK=GH．
∵△BFG是等腰直角三角形，
∴BG=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG，
∴BH=BG+GH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$FG+EK=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK，
即BH=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF+EK．              
（3）補全圖形如圖3：
              
BH=EK-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$EF．

點評 本題考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質，解決本題的關鍵是利用全等三角形的判定和等腰三角形的性質．