Question

8．AB為圓O的直徑，點C在半圓上從點A運動到點B（點C不與A，B重合），過點B作圓O的切線，交AC的平行線OD于點D，連結(jié)CB交OD于E．
（1）求證：無論點O在何處，CD總是圓O的切線；
（2）若記AC=x，OD=y，請列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．
（3）試探索：當(dāng)點C運動到何處時，四邊形CAOD是平行四邊形，請說明理由，并求出此時點E運動的弧長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB=90°，由于AC∥OD，求出∠OEB=90°，于是得到OD垂直平分BC，得到BD=CD，證出∠DBC=∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCB=∠OBC，根據(jù)等量代換得到∠OCD=90°，于是得到結(jié)論；
（2）設(shè)圓O的半徑為r，由于AC∥OD，得到∠OAC=∠DOB，通過△ABC∽△OBD，列比例式即可得到結(jié)果；
（3）當(dāng)點C運動到弧AB的中點時，四邊形CAOD是平行四邊形，若C是弧AB的中點，連接OC，則∠AOC=∠BOC=90°，根據(jù)CD是⊙O的切線，得到∠ODC=90°，于是得到AO∥CD，由于AC∥OD，根據(jù)平行四邊形的判定和定理得到四邊形CAOD是平行四邊形，由于點E是BC的中點，于是得到當(dāng)點C運動到弧AB的中點，點E運動的弧長=$\frac{90π•\frac{1}{2}r}{180}$=$\frac{1}{4}π$r．

解答 （1）證明：連接OC，∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC∥OD，
∴∠OEB=90°，
∴OD垂直平分BC，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，
∵BD切⊙O于B，
∴∠DBC+∠OBC=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切線；

（2）設(shè)圓O的半徑為r，∵AC∥OD，
∠OAC=∠DOB，
由（1）知，∠ACB=∠BCD=90°，
∴△ABC∽△OBD，
∴$\frac{OB}{AC}=\frac{OD}{AB}$，即$\frac{r}{x}=\frac{y}{2r}$，
∴y=$\frac{2{r}^{2}}{x}$ （0＜x＜2r），

（3）當(dāng)點C運動到弧AB的中點時，四邊形CAOD是平行四邊形，
若C是弧AB的中點，連接OC，則∠AOC=∠BOC=90°，
∵CD是⊙O的切線，∴∠ODC=90°，
∴AO∥CD，∵AC∥OD，
∴四邊形CAOD是平行四邊形，
∵點E是BC的中點，
∴隨著點C的運動，點E在以O(shè)B為半圓的圓弧上運動，
當(dāng)點C運動到弧AB的中點，點E運動的弧長=$\frac{90π•\frac{1}{2}r}{180}$=$\frac{1}{4}π$r．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，列函數(shù)解析式，求弧長，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．