Question

15．如圖，在矩形ABCD中，AD=2，CD=4，BN=2AM=2MN；點(diǎn)P為CD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與C、D重合），AP交DM于點(diǎn)E，PN交CM于點(diǎn)F，設(shè)DP=x．
（1）試用含x的式子表示：AE：AP的比值．
（2）請用含x的式子表示：△AME的面積．
（3）當(dāng)DP為何值時(shí)，四邊形PEMF的面積是矩形ABCD面積的$\frac{5}{32}$，并判斷此時(shí)四邊形DMNP的形狀．

Answer 1

分析 （1）先求出AM=1，再根據(jù)△AEM∽△PED即可得出結(jié)論；
（2）先求出△AEM和△PED的對應(yīng)邊AM，PD上高的關(guān)系，利用它們的和2，得出AM邊上的高，即可得出結(jié)論；
（3）同（2）得出S_△MFN=$\frac{1}{5-x}$，利用面積關(guān)系求出PD，分兩種情況討論計(jì)算即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=CD=4，BC=AB=2，AB∥DC
∵BN=2AM=2MN，
∴AM=$\frac{1}{4}$AB=1，
∵AB∥CD，
∴△AEM∽△PED，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{AM}{DP}$，
∵DP=x，
∴$\frac{AE}{PE}=\frac{1}{x}$，
∴$\frac{AE}{AP}=\frac{1}{x+1}$
（2）設(shè)△AEM的AM邊山的高為h，△PED的PD邊上的高為h'，
∴h+h'=AD=2
由（1）知，△AEM∽△PED，
∴$\frac{h}{h'}=\frac{AM}{DP}=\frac{1}{x}$，
∴h=$\frac{2}{x+1}$
∵S_△AEM=$\frac{1}{2}$AM×h=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{2}{x+1}$=$\frac{1}{x+1}$，
（3）解：連接PM，設(shè)DP=x，則PC=4-x，
由（2）知，S_△AEM=$\frac{1}{x+1}$，
同（2）的方法得出S_△MFN=$\frac{1}{5-x}$
∵S_△APN=$\frac{1}{2}$AN×AD=2
∴S_{四邊形PEMF的面積}=S_△APN-S_△AEM-S_△MFN=2-$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{5-x}$
∵S_{四邊形ABCD}=2×4=8，
而四邊形PEMF的面積是矩形ABCD面積的$\frac{5}{32}$，
∴2-$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{5-x}$=$\frac{5}{32}×8$=$\frac{5}{4}$，
∴x=1或x=3，
當(dāng)x=1時(shí)，則有PD=MN，
∵PD∥MN，
∴四邊形DMNP是平行四邊形；
當(dāng)x=3時(shí)，則PD=3，
∴PC=1，
如備用圖，

過點(diǎn)P作PH⊥AB，
∴NH=BH=1，
根據(jù)勾股定理得出PN=$\sqrt{5}$，
在Rt△ADM中，DM=$\sqrt{5}$，
∴DM=PN，
∵M(jìn)N∥DP，MN≠DP，
∴四邊形DMNP是等腰梯形．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，平行四邊形的判定，等腰梯形的判定，求出S_△AEM=$\frac{1}{x+1}$是解本題的關(guān)鍵．