Question

11．如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交OC于點(diǎn)D，AD的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)E，過(guò)D作⊙O的切線交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△CDF∽△CBO；
（2）若ED•EA=8，求BE和CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到DF⊥OD，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連接BD，由AB為直徑，得到BD⊥AE，根據(jù)相似三角形的想知道的BE²=AE•DE=8，得到BE=2$\sqrt{2}$，根據(jù)切線的性質(zhì)得到FB=DF，得到EF=BF=DF=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{2}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵DF是⊙O的切線，
∴DF⊥OD，
∴∠CDF=∠CBO=90°，
∵∠DCF=∠OCB，
∴△CDF∽△CBO；

（2）連接BD，
∵AB為直徑，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=∠ABE，
∴△ABE∽△BDE，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{DE}{BE}$，
∴BE²=AE•DE=8，
∴BE=2$\sqrt{2}$，
∵FD是⊙O的切線，
∵∠ABC=90°，
∴CB是⊙O的切線，
∴FB=DF，
∵∠BDE=90°，
∴EF=BF=DF=$\frac{1}{2}$BE=$\sqrt{2}$，
∵△CDF∽△CBO，
∴$\frac{DF}{BO}$=$\frac{CD}{BC}$，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$，
∵AB=BC，
∴$\frac{DF}{CD}$=$\frac{BO}{CB}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD，
∴CD=2$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{10}$，
∴CE=$\sqrt{10}$-$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．