Question

13．觀察下列二次根式的化簡(jiǎn)：
S₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$
S₂=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）
S₃=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$=（1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$）（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（1+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$），…．
則$\frac{{S}_{2017}}{2017}$=$\frac{2019}{2017}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可歸納出S_n的表達(dá)式，從而求出S₂₀₁₇的值

解答 解：由題意可知：S₁=1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$
S₂=1+1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{3}$=3-$\frac{1}{3}$
S₃=1+1+1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{4}$=4-$\frac{1}{4}$
由此可知：S_n=（n+1）-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n（n+2）}{n+1}$
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n+2}{n+1}$=$\frac{2019}{2017}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出S_n的表達(dá)式，本題屬于中等題型．