Question

16．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．
（1）對于坐標平面內的一點P，給出如下定義：如果∠APB=45°，則稱點P為線段AB的“等角點”．顯然，線段AB的“等角點”有無數個，且A、B、P三點共圓．
①設A、B、P三點所在圓的圓心為C，直接寫出點C的坐標和⊙C的半徑；
②y軸正半軸上是否有線段AB的“等角點”？如果有，求出“等角點”的坐標；如果沒有，請說明理由；
（2）當點P在y軸正半軸上運動時，∠APB是否有最大值？如果有，說明此時∠APB最大的理由，并求出點P的坐標；如果沒有請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①如圖1中，在x軸的上方，作以AB為斜邊的直角三角形△ACB，易知A、B、P三點在⊙C上，點C即為所求，再根據對稱性可知滿足條件的所有點C坐標．
②y軸的正半軸上存在線段AB的“等角點“．如圖2所示：當圓心為C（4，3）時，過點C作CD⊥y軸于D，則D（0，3），CD=4，設交點為P₁、P₂，此時P₁、P₂在y軸的正半軸上連接CP₁、CP₂、CA，則CP₁=CP₂=CA=r=$3\sqrt{2}$Y2CD⊥y軸，CD=4，CP₁=$3\sqrt{2}$，推出DP₁=$\sqrt{CP_1^2-C{D^2}}=\sqrt{2}$=DP₂，由此即可解決問題；
（2）當過點A，B的圓與y軸正半軸相切于點P時，∠APB最大．

解答 解：（1）①如圖1中，

在x軸的上方，作以AB為斜邊的直角三角形△ACB，易知A、B、P三點在⊙C上，
圓心C的坐標為（4，3），半徑為3$\sqrt{2}$，
根據對稱性可知點C（4，-3）也滿足條件．

②y軸的正半軸上存在線段AB的“等角點“．
如圖2所示：當圓心為C（4，3）時，過點C作CD⊥y軸于D，則D（0，3），CD=4

∵⊙C的半徑r=$3\sqrt{2}$＞4，
∴⊙C與y軸相交，
設交點為P₁、P₂，此時P₁、P₂在y軸的正半軸上
連接CP₁、CP₂、CA，則CP₁=CP₂=CA=r=$3\sqrt{2}$
∵CD⊥y軸，CD=4，CP₁=$3\sqrt{2}$，
∴DP₁=$\sqrt{CP_1^2-C{D^2}}=\sqrt{2}$=DP₂，
∴P₁（0，3+$\sqrt{2}$） P₂（0，3-$\sqrt{2}$）．

（2）當過點A，B的圓與y軸正半軸相切于點P時，∠APB最大．
理由如下：如果點P在y軸的正半軸上，設此時圓心為E，則E在第一象限，
在y軸的正半軸上任取一點M（不與點P重合），
連接MA，MB，PA，PB，設MB交于⊙E于點N，連接NA，

∵點P，點N在⊙E上，∴∠APB=∠ANB，
∵∠ANB是△MAN的外角，
∴∠ANB＞∠AMB，即∠APB＞∠AMB，
此時，過點E作EF⊥x軸于F，連接EA，EP，則AF=$\frac{1}{2}$AB=3，OF=4，
∵⊙E與y軸相切于點P，則EP⊥y軸，
∴四邊形OPEF是矩形，OP=EF，PE=OF=4．
∴⊙E的半徑為4，即EA=4，
∴在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{E{A^2}-A{F^2}}=\sqrt{{4^2}-{3^3}}=\sqrt{7}$，
∴OP=$\sqrt{7}$即 P（0，$\sqrt{7}$）．

點評 本題考查圓綜合題、圓周角定理、直線與圓位置關系、勾股定理、線段AB的“等角點”的定義等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，所有中考壓軸題．