Question

15．某水庫大壩的橫截面是如圖所示的四邊形ABCD，其中AB∥CD．瞭望臺(tái)PC正前方水面上有兩艘漁船M，N，觀察員在瞭望臺(tái)頂端P處觀測(cè)漁船M的俯角α=31°，觀測(cè)漁船N的俯角β=45°．已知MN所在直線與PC所在直線垂直，垂足為點(diǎn)E，PE長(zhǎng)為30米．
（1）求兩漁船M，N之間的距離（結(jié)果精確到1米）；
（2）已知壩高24米，壩長(zhǎng)100米，背水坡AD的坡度i=1：0.25．為提高大壩防洪能力，某施工隊(duì)在大壩的背水坡填筑土石加固，加固后壩頂加寬3米，背水坡FH的坡度為i=1：1.5．施工12天后，為盡快完成加固任務(wù)，施工隊(duì)增加了機(jī)械設(shè)備，工作效率提高到原來的1.5倍，結(jié)果比原計(jì)劃提前20天完成加固任務(wù)．施工隊(duì)原計(jì)劃平均每天填筑土石方多少立方米？（參考數(shù)據(jù)：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知求出EN，根據(jù)正切的概念求出EM，求差得到答案；
（2）根據(jù)坡度和銳角三角函數(shù)的概念求出截面積和土石方數(shù)，根據(jù)題意列出分式方程，解方程得到答案．

解答 解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，
∴EN=PE=30，
在Rt△PEM中，∠PME=31°，
tan∠PME=$\frac{PE}{ME}$，
∴ME=$\frac{PE}{tan31°}$≈50，
∴MN=EM-EN=20；
（2）過點(diǎn)F作FM∥AD交AH于點(diǎn)M′，過點(diǎn)F作FN⊥AH交直線AH于點(diǎn)N′，
則四邊形DFM′A為平行四邊形，
∴∠FM′A=∠DAB，DF=AM=′3，
由題意得，tan∠FM′A=tan∠DAB=4，tan∠H=$\frac{2}{3}$，
在Rt△FN′H中，N′H=$\frac{FN}{tan∠H}$=36，
在Rt△FN′M′中，M′N′=$\frac{FN}{tan∠FMA}$=6，
∴HM′=30，AH=33，
梯形DAHF的面積為：$\frac{1}{2}$×DN′×（DF+AH）=432，
所以需填土石方為432×100=43200，
設(shè)原計(jì)劃平均每天填x立方米，由題意得，
12x+（$\frac{43200}{x}$-12-20）×1.5x=43200，
解得，x=600，
經(jīng)檢驗(yàn)x=600是方程的解，
原計(jì)劃平均每天填筑土石方600立方米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是解直角三角形和分式方程的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的一般步驟、根據(jù)題意正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵，注意分式方程解出未知數(shù)后要驗(yàn)根．